Question

如果一個數(shù)列的各項的倒數(shù)成等差數(shù)列，我們把這個數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列
（1）若a²，b²，c²成等差數(shù)列，證明b+c，c+a，a+b成調(diào)和數(shù)列；
（2）設(shè)S_n是調(diào)和數(shù)列的前n項和，證明對于任意給定的實數(shù)N，總可以找到一個正整數(shù)m，使得當(dāng)n＞m時，S_n＞N．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證b+c，c+a，a+b成調(diào)和數(shù)列，只須證，只須證2b²=a²+c²．因為a²，b²，c²成等差數(shù)列，所以2b²=a²+c²成立，由此能證明b+c，c+a，a+b成調(diào)和數(shù)列．
（2），所以=＞1+，對于任一給定的N，欲使S_n＞N，只須，即k＞2（N-1），由此能夠證明當(dāng)n＞m時，S_n＞N．
解答：證明：（1）欲證b+c，c+a，a+b成調(diào)和數(shù)列，
只須證
只須證2（b+c）（a+b）=（c+a）（a+b）+（c+a）（b+c）
化簡后，只須證2b²=a²+c²
因為a²，b²，c²成等差數(shù)列，所以2b²=a²+c²成立
所以b+c，c+a，a+b成調(diào)和數(shù)列
（2）

對于任一給定的N，欲使S_n＞N，
只須，
即k＞2（N-1），
取m=[2^2（N-1）]+1（其中[2^2（N-1）]表示2^2（N-1）的整數(shù)部分），
則當(dāng)n＞m時，S_n＞N．
（本題解法和答案不唯一）
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．