Question

如果一個數列的各項都是實數,且從第二項開始,每一項與它前一項的平方差是相同的常數,則稱該數列為等方差數列,這個常數叫這個數列的公方差.

(1)設數列{a_n}是公方差為p的等方差數列,求a_n和a_n-1(n≥2,n∈N)的關系式；

(2)若數列{a_n}既是等方差數列,又是等差數列,證明該數列為常數列.

Answer 1

思路解析:本題題目中出現了一個有關數列的新名詞,對于此類問題的求解,首先應當注意正確地理解其含義,然后根據所學知識將問題求解.

(1)解:由等方差數列的定義可知a_n²-a_n-1²=p(n≥2,n∈N).

(2)證明:∵{a_n}是等差數列,設公差為d,

則a_n-a_n-1=a_n+1-a_n=d,

又{a_n}是等方差數列,

∴a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n².

∴(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n),

即d(a_n+a_n-1-a_n+1-a_n)=?-2d²=0.

∴d=0,即{a_n}是常數列.