Question

（2012•綿陽二模）已知F₁，F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F₂且平行于y軸的直線交雙曲線的漸近線于M N兩點．若△MNF₁為銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（A）（　　）

• A．（1，

  3

  ）
• B．（1，

  5

  ）
• C．（

  3

  ，+∞）
• D．（

  5

  ，+∞）

Answer 1

分析：由過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點可知△MNF₁為等腰三角形，若△MNF₁為銳角三角形，只要∠NF₁M為銳角即可，從而2c＞

bc

a

，進而能夠推導出該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答：解：由題設條件可知△MNF₁為等腰三角形，若△MNF₁為銳角三角形，只要∠NF₁M為銳角即可，
∴|F₁F₂|＞|MF₂|
∵過F₂且平行于y軸的直線交雙曲線的漸近線于M N兩點，∴|MF₂|=

bc

a

∴2c＞

bc

a

，∴2a＞b
∴4a²＞b²，∴4a²＞c²-a²
∴5a²＞c²，∴

c

a

＜

5

∴e＜

5

∵e＞1，∴1＜e＜

5

故選B．

點評：本題考查雙曲線的離心率和銳角三角形的判斷，在解題過程中要注意隱含條件的挖掘．