Question

【題目】已知函數（）

（1）討論函數在上的單調性；

（2）若且存在兩個極值點，記作，，若，求a的取值范圍；

（3）求證：當時，（其中e為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍求出函數的單調區間即可；

（2）求出，，得到的解析式，問題轉化為，令，，所以，令，根據函數的單調性判斷即可；

（3）問題轉化為證明，即證，設，根據函數的單調性證明即可．

解：（1）

（※）

當時，，，函數在上是增函數

當時,由得,解得（舍去）

所以當時,,從而,函數在上是減函數;

當時,,從而,函數在上是增函數

綜上，當時,函數在上是增函數;

當時,函數在上是減函數,在上是增函數

（2）由（1）知,當時,,函數無極值點

若存在兩個極值點,又由為正數必有，由（1）極值點為,

依題意即化為,得

所以的取值范圍是

由（※）式得

不等式化為

令所以

當時,,,,所以,不合題意

當時,,

所以在上是減函數,所以,適合題意,即

綜上,a的取值范圍是.

（3）當時,

不等式可化為，即證.

設,則在上,,是減函數;在上,,是增函數,所以,

設,則是減函數,所以,

所以，即所以當時，不等式