Question

【題目】如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1．

（Ⅰ）求證：平面DAF⊥平面CBF；

（Ⅱ）當AD＝1時，求直線FB與平面DFC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）．

【解析】

(Ⅰ)證明BF⊥平面ADF即可.

(Ⅱ) 以F為原點建立空間直角坐標系,再根據空間向量的方法求解直線FB與平面DFC所成角的正弦值即可.

（Ⅰ）證明：∵AB為圓O的直徑,點E、F在圓O上,∴AF⊥BF,

∵矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直,

∴AD⊥AB,∴AD⊥平面ABEF,∴AD⊥BF,

∵AD∩AF＝A,∴BF⊥平面ADF,

∵BF平面CBF,∴平面DAF⊥平面CBF．

（Ⅱ）解：連結FO,∵AB＝2,EF＝1,AB∥EF,

∴當AD＝1時,四邊形EFOB是菱形,

以F為原點,FB為x軸,FA為y軸,過F作平面ABEF的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,

F（0,0,0）,B（,0,0）,C（,0,1）,D（0,1,1）,

（,0,0）,（,0,1）,（0,1,1）,

設平面DFC的法向量（x,y,z）,

則,取x＝1,得（1,,）,

設直線FB與平面DFC所成角為θ,

則sinθ．

∴直線FB與平面DFC所成角的正弦值為．