Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，，分別是線段上的點，且，平面，側面底面．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：本題要證明線面平行以及求二面角，考慮到條件，側面底面．，因此取中點，有，這樣取中點后，易知兩兩垂直，因此以它們為坐標軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，（1）只要求得平面的法向量，然后證明與法向量垂直（數量積為0）即可證明線面平行；（2）再求得的法向量，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值（注意判斷二面角是銳角還是鈍角，本題是鈍角）．

試題解析：設為中點，為中點，以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系，則

設，即，從而

顯然，，

，則要使平面，則且，

即，故，從而點的坐標為，即為中點．

（1）設平面的法向量，由于，，

由于，則，從而，

取

由于，從而，從而，

又平面，從而平面

（2）設平面的法向量，由于，

由于，則，從而，

取

又平面的法向量

設二面角的平面角的大小為

則

綜上所述，二面角的余弦值為．