Question

（08年安慶市二模理）（12分）        設(shè)點(diǎn)A、B是直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線上的動(dòng)點(diǎn)M在A、B兩點(diǎn)間移動(dòng)，如圖所示。

         （1）試求M的坐標(biāo)，使得△MAB的面積最大；

         （2）試證明：拋物線上平行于AB的弦恒被一條定直線平分。

 

Answer 1

解析：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由于線段AB的長是定值,所以只要點(diǎn)M到直線AB的距離最大即可.平行移動(dòng)AB到與拋物線相切的位置時(shí),切點(diǎn)到直線AB的距離最大.因?yàn)?IMG height=22 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090415/20090415145617002.gif' width=63>,,于是代入中得,因此當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí), 使得△MAB的面積最大.          …………… 6分

（2）設(shè)拋物線平行于直線AB的弦的方程為弦的兩個(gè)端點(diǎn)為、，則所以

即.若設(shè)弦的中點(diǎn)為,則x=－1,即弦的中點(diǎn)的軌跡方程為x=－1,因此拋物線上平行于AB的弦恒被一條直線平分   .....12分