Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2 ，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點G，O為GC的中點，且FO⊥平面ABCD，FO= ．

（1）求BF與平面ABCD所成的角的正切值；
（2）求三棱錐O﹣ADE的體積；
（3）求證：平面AEF⊥平面BCF．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BO，因為正方形ABCD的邊長為2 ，所以BD⊥AC，且DB=AC=4，又O為GC的中點，所以GO=1，GB=2，BO= ）

又FO⊥平面ABCD，且 ，所以∠FBO即為BF與平面ABCD所成的角

所以，tan∠FBO=

（2）解：由上知，AO=3，所以S△ADO= = =3

又BDEF是平行四邊形，且FO⊥平面ABCD， ，所以三棱錐E﹣ADO的高為

所以VO﹣ADE=VE﹣ADO= =

（3）證明：由正方形ABCD知BD⊥AC．因為FO⊥平面ABCD，所以BD⊥FO，

從而BD⊥平面ACF，得BD⊥CF．因為BD∥EF，所以CF⊥EF．

由（1）知AC=4，OC=1，AO=3，又 ，故有 ，FC=2，

因AF2+FC2=AC2，所以CF⊥AF，由于EF∩AF=F，

所以CF⊥平面AEF，而CF平面BCF，

所以平面AEF⊥平面BCF

【解析】（1）證明∠FBO即為BF與平面ABCD所成的角，即可求BF與平面ABCD所成的角的正切值；（2）利用VO﹣ADE=VE﹣ADO ， 求三棱錐O﹣ADE的體積；（3）證明CF⊥平面AEF，即可證明平面AEF⊥平面BCF．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．