Question

如圖，在三棱錐中， 
（1）求證：平面⊥平面
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）若動點M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值為，求BM的最小值.

Answer 1

（1）見解析     （2）.               （3）.  

（1）本題解決的關鍵是取線段AC中點O,利用等腰三角形和直角三角形的性質得OP⊥OC，OP⊥OB.由線面垂直的判定定理得OP⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理得平面⊥平面  .
（2）由（1）得OB、OC、OP兩兩垂直，可以O為坐標原點建立空間直角坐標系，然后利用
空間向量法求出平面PBC的法向量,再根據直線與平面所成角的向量法求解即可.
(3)在(2)的基礎上可知平面PAC的法向量,然后再求出平面PAM的法向量, 則根據這兩個法向量夾角的余弦值為為,求出直線AM的方程，然后利用點到直線的距離公式可求出B點到AM的最小值.
（1）取AC中點O,因為AP=BP，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC為直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB
∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面       4分
（2） 以O為坐標原點,OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.

由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ),    5分
∴設平面PBC的法向量，
由得方程組
，取                           6分
∴ 
∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為.                             8分
（3）由題意平面PAC的法向量， 設平面PAM的法向量為 ∵又因為
∴ 取                      

∴ ∴             11分
∴B點到AM的最小值為垂直距離.