Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點，焦點，在軸上，經過點，,且拋物線的焦點為.

(1) 求橢圓的方程；

(2) 垂直于的直線與橢圓交于,兩點，當以為直徑的圓與軸相切時，求直線的方程和圓的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2），或，

【解析】

試題分析：（1） 設橢圓的方程為，

則由橢圓經過點，,有，①

∵拋物線的焦點為_，∴ ， ②

又 ③，

由①、②、③得，

所以橢圓的方程為.                                        ……5分

（2） 依題意，直線斜率為1，

由此設直線的方程為，代入橢圓方程，得.

由，得.

 記， =，=，

圓的圓心為，即, ，

半徑，

當圓與軸相切時，，即，，

當時，直線方程為，此時，，圓心為(2，1)，半徑為2，圓的方程為；

同理，當時，直線方程為，

圓的方程為.                                  ……13分

考點：本小題主要考查橢圓與拋物線基本量之間的關系和橢圓標準方程的求解、直線與橢圓的位置關系、韋達定理、直線與圓的位置關系、直線與圓的方程的求解，考查了學生綜合運算所學知識分析問題、解決問題的能力和數形結合數學思想的應用以及運算求解能力.

點評：每年高考圓錐曲線問題都出現在壓軸題的位置上，難度一般較大，要充分利用數形結合數學思想方法，盡可能的尋求簡單方法，盡可能的減少運算，另外思維一定要嚴謹，運算一定要準確.