Question

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上且AG=

1

3

GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，四面體P-BCG的體積為

8

3

．
（1）求過點P，C，B，G四點的球的表面積；
（2）求直線DP到平面PBG所成角的正弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點F，使DF⊥GC，若存在，確定點F的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據條件構造求過點P，C，B，G四點長方體，根據長方體的體對角線和球直徑之間的關系即可求出球的表面積；
（2）根據線面所成角的定義，求出直線DP到平面PBG所成角的正弦值；
（3）根據直線垂直的性質，即可確定F的位置．

解答：解：（1）由四面體P-BCG的體積為

8

3

．
∴PG=4
以GP，GB，GC構造長方體，外接球的直徑為長方體的體對角線．
∴（2R）²=16+4+4，
∴R=

6

∴V=4π×6=24π．
（2）由GB=GC=2
∴△BGC為等腰三角形，GE為∠BGC的角平分線，
作DK⊥BG交BG的延長線于K，
∴DK⊥面BPG．由平面幾何知識可知：DK=GK=

3

2

PD=

41 2

，
設直線DP與平面PBG所成角為α
∴sinα=

DK

DP

=

3 82

82

．
（3）∵GB，GC，GP兩兩垂直，分別以GB，GC，GP為x，y，z軸建立坐標系
假設F存在且設F（0，y，4-2y）（0＜y＜2）
∵D(-

3

2

，

3

2

，0)，G(0，0，0)，C(0，2，0)
∴

DF

=(

3

2

，y-

3

2

，4-2y)，

GC

=(0，2，0)，
又直線DF與GC所成的角為90⁰
∴cos900=

| DF • GC |

| DF || GC |

=

|2y-3|

| DF || GC |

=0
∴y=

3

2

∴當

CF

CP

=

1

4

時滿足條件．

點評：本題主要考查空間球表面積求法，以及直線和平面所成角的求法，要求熟練掌握相應的公式和定理性質．