Question

已知如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=GD，GB⊥GC，GB=GC=2，PC=4，E是BC的中點．
(Ⅰ)求證：PC⊥BG；
(Ⅱ)求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
(Ⅲ)若F是PC上一點，且DF⊥GC，求的值。

Answer 1

(Ⅰ)證明：因為PG⊥平面ABC， 所以PG⊥BC， 又BG⊥CG， 所以BG⊥面PCG， 所以PC⊥BG。
(Ⅱ)解：建立如圖所示的空間直角坐標系，各點坐標如圖所示， ， ∴。 (Ⅲ)設， 則點， 又， ∴，， 由DF⊥DC，得， ∴，解得：， ∴。