Question

（2010•聊城一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)S(0，-

1

3

)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)和△MAB面積的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由|OP|=

7

2

得

x

2 0

+

y

2 0

=

7

4

；由

PF1

•

PF2

=

3

4

得

x

2 0

+

y

2 0

-c2=

3

4

．所以c=1，由此能求出橢圓的方程．
（2）動(dòng)直線l的方程為y=kx-

1

3

，由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=-

16

9(2k2+1)

．由此入手能求出當(dāng)且僅當(dāng)

1

t

=1時(shí)，△MAB面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則由|OP|=

7

2

得

x

2 0

+

y

2 0

=

7

4

；
由

PF1

•

PF2

=

3

4

得(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

3

4

，
即

x

2 0

+

y

2 0

-c2=

3

4

．
所以c=1…（2分）
又因?yàn)?span id="zhwi4o5" class="MathJye">

c

a

=

2

2

，所以a²=2，b²=1．…（3分）
因此所求橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）動(dòng)直線l的方程為y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，
得(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=-

16

9(2k2+1)

．…（6分）
假設(shè)在y上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，
則

MA

=(x1，y1-m)，

MB

=(x2，y2-m)．

MA

•

MB

=x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2
=x1x2+(kx1-

1

3

)(kx2-

1

3

)-m(kx1-

1

3

+kx2-

1

3

)+m2
=(k2+1)x1x2-k(

1

3

+m)(x1+x2)+m2+

2

3

m+

1

9

=-

16(k2+1)

9(2k2+1)

-k(

1

3

+m)

4k

3(2k2+1)

+m2+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

．
由假設(shè)得對(duì)于任意的k∈R，

MA

•

MB

=0恒成立，
即

m2-1=0 9m2+6m-15=0

，
解得m=1．
故在y軸上存在定點(diǎn)M（0，1），
使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)…（10分）
這時(shí)，點(diǎn)M到AB的距離d=

4

3 k2+1

，
|AB|=

(k2+1)(x1-x2)2

．

S△MAB= 1 2 |AB|d= 2 3 (x1-x2)2 = 2 3 (x1+x2)2-4x1x2 = 2 3 16k2 2(k2+1)2 + 64 9(2k2+1) = 8 9 9k2+4 (2k2+1)2 ．

設(shè)2k²+1=t，
則k2=

t-1

2

，
得t∈[1，+∞)，

1

t

∈(0，1]．
所以S△MAB=

8

9

9 2 ( 1 t )- 1 2 ( 1 t )2

=

8

9

1 2 [ 81 4 -( 1 t - 9 2 )2]

≤

16

9

．
當(dāng)且僅當(dāng)

1

t

=1時(shí)，上式等號(hào)成立．
因此，△MAB面積的最大值是

16

9

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過(guò)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問(wèn)題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，探究研究問(wèn)題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．