Question

【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓C：的離心率為，連接橢圓四個頂點形成的四邊形面積為4．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點A（1，0）的直線與橢圓C交于點M, N,設P為橢圓上一點，且O為坐標原點，當時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，先利用離心率、、四邊形的面積列出方程，解出a和b的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，討論直線MN的斜率是否存在，當直線MN的斜率存在時，直線方程與橢圓方程聯立，消參，利用韋達定理，得到、，利用列出方程，解出，代入到橢圓上，得到的值，再利用，計算出的范圍，代入到的表達式中，得到t的取值范圍．

試題解析：（1），，即．

又，．

∴橢圓C的標準方程為．

（2）由題意知，當直線MN斜率存在時，

設直線方程為，，

聯立方程消去y得，

因為直線與橢圓交于兩點，

所以恒成立，

，

又，

因為點P在橢圓上，所以，

即，

又，

即，整理得：，

化簡得：，解得或（舍），

，即．

當直線MN的斜率不存在時，，此時，

．