Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）若直線是曲線與曲線的公切線，求；

（2）設(shè)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)直線與切于點(diǎn)，與切于， 處的切線方程為. 處的切線方程為.根據(jù)

這兩條直線為同一條直線，可得關(guān)于和，解得和的值，從而可得結(jié)果；（2）， ，顯然在上為減函數(shù)，存在一個(gè)，使得，且時(shí)， ， 時(shí)， 為的極大值點(diǎn)，只需求恒成立即可得結(jié)果.

試題解析：對函數(shù)求導(dǎo)，得，對函數(shù)求導(dǎo)，得。

設(shè)直線與切于點(diǎn)，與切于.

則在點(diǎn)處的切線方程為： ，即.

在點(diǎn)處的切線方程為： ，即.

這兩條直線為同一條直線，所以有

由（1）有，代入（2）中，有

，則或.

當(dāng)時(shí)，切線方程為，所以,

當(dāng)時(shí)，切線方程為，所以.

（2）。求導(dǎo)： ，

顯然在上為減函數(shù)，存在一個(gè)，使得，

且時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以為的極大值點(diǎn)。

由題意，則要求.

由，有，所以，

故.

令，且。

， 在上為增函數(shù)，又，

要求，則要求，又在上為增函數(shù)，

所以由，得。

綜上，