Question

已知f（x）是定義域為R的函數，給出下列命題：
①若f′（1）=0，則x=1是f（x）的極值點；
②若1＜a＜3，則函數f（x）=

(3-a)x-3，x≤7 ax-6，x＞7

是單調函數；
③若f（x）為奇函數，又f（x+1）為偶函數，則f（1）+f（3）+…+f（19）=f（2）+f（4）+…+f（20）；
④若f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*），且f（x）在x=1處的切線與x軸交于點（x_n，0），則lgx₁+lgx₂+…+lgx₉₉=-2
其中正確命題的序號是

③④

 （寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：①利用函數的極值和導數之間的關系進行判斷．②利用函數的單調性的意義進行判斷．
③利用函數的奇偶性進行求值．④利用導數的運算和對數的運算法則求值．

解答：解：①因為f′（a）=0是函數在a處取得極值的必要不充分條件，所以①錯誤．
②若1＜a＜3，則函數f（x）=a^x-6在（7，+∞）為單調遞增函數，f（x）=（3-a）x-3在（-∞，7]單調遞增．
若函數f（x）單調遞增，則7（3-a）-3＜a，此時a＞

9

4

，所以當1＜a≤

9

4

時，函數不單調，所以②錯誤．
③若f（x）為奇函數，又f（x+1）為偶函數，所以f（-x+1）=f（x+1）=-f（x-1），即f（x+2）=-f（x），
所以f（x+4）=f（x），即函數的周期為4．
所以f（1）+f（3）=f（1）+f（3-4）=f（1）+f（-1）=0，f（5）+f（7）=f（1）+f（3）=0，…
f（17）+f（19）=f（1）+f（3）=0，所以f（1）+f（3）=+…+f（19）=0．
而0=f（2）+f（-2）=f（2）+f（-2+4）=2f（2），所以f（2）=0，所以f（2）=f（6）=f（10）=f（14）=f（18）=0，
又f（4）=f（8）=f（12）=f（16）=f（20）=f（0）=0，所以f（2）+f（4）+…f（20）=0．
所以f（1）+f（3）+…f（19）=f（2）+f（4）+…f（20）．所以③正確．
④函數的導數為f'（x）=（n+1）xⁿ，所以f'（1）=n+1，f（1）=1．
所以f（x）在x=1處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1）．
切線與x軸的交點坐標為（x_n，0），
所以xn=1-

1

n+1

=

n

n+1

，所以lgxn=lg

n

n+1

．
所以lgx₁+lgx₂+…+lgx₉₉=lg

1

2

+lg

2

3

+lg

3

4

+…+lg

99

100

=lg(

1

2

?

2

3

?

3

4

…

99

100

)=lg

1

100

=-2．故④正確．
故答案為：③④．

點評：本題主要考查命題的真假判斷，綜合性較強，涉及的知識點較多．