Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E是側棱PC的中點，求證：PA∥平面BDE；
（3）若E是側棱PC上的動點，不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）更加所給的三視圖得到該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，根據四棱錐的體積公式做出幾何體的體積．
（2）根據見到中點找中點的方法，連接AC交BD于F，則F為AC的中點，根據三角形的中位線與底邊平行，得到線與面的平行關系，再寫出不屬于這個平面，得到線與面平行．
（3）先寫出結論，再證明這個結論，要證不論點E在何位置，都有BD⊥AE，只要證明BD⊥平面PAC，且不論點E在何位置，都有AE?平面PAC，得到結論．

解答：解：（1）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD•PC=

1

3

×1×2=

2

3

（2）證明：連接AC交BD于F，則F為AC的中點，
∵E為PC的中點，
∴PA∥EF，
又PA?平面BDE內，
∴PA∥平面BDE
（3）不論點E在何位置，都有BD⊥AE
證明：連接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC
又AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE

點評：本題是一個典型的立體幾何的題目，從三視圖開始，考查的知識點比較全面，注意最后一問的解答格式，需要先得到結論，再證明結論，兩個環節不能缺少．