Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的性質，可得線線垂直，再利用線面垂直的判定，即可證明BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面PCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標系，

則AD=4，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，4，0），P（0，0，4）
∴

AC

=（2，1，0），

PC

=（2，1，-4），

PD

=（0，4，-4）
令平面PCD的法向量為

n

=（x，y，z），則
由

n • PC =0 n • PD =0

，可得

2x+y-4z=0 4y-4z=0

令z=1，可得

n

=（

3

2

，1，1），
∴直線AC與平面PCD所成角的正弦值為|cos＜

AC

，

n

＞|=

AC • n

| AC || n |

=

8

85

85

．

點評：本題考查線面垂直的性質與判定，考查線面角，考查學生分析夾角問題的能力，屬于中檔題．