Question

設函數f（x）=lnx+aln（2-x）．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域及其導數f'（x）；
（Ⅱ）當a≥-1時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a=1時，令g（x）=f（x）+mx（m＞0），若g（x）在（0，1]上的最大值為

1

2

，求實數m的值．

Answer 1

分析：（I）先求函數的定義域，根據所給的兩個對數式，得到真數大于0，解不等式組即可，根據所給的函數寫出導函數，注意復合函數的內層函數也要求導．
（II）根據上一問做出的函數的導數通分整理，看出要討論a與-1的關系，針對于不同的關系根據導函數與0的關系寫出函數的單調區間．
（III）對所給的函數求導，根據得到的導函數大于0，得到函數是一個增函數，得到函數在區間（0，1]上是增函數，有函數g（x）在（0，1]上的最大值為g（1），得到結果．

解答：解：（Ⅰ）由

x＞0 2-x＞0

得0＜x＜2，即函數的定義域為（0，2）；
f′(x)=

1

x

-

a

2-x

．
（Ⅱ）當a≥-1時，f′(x)=

1

x

-

a

2-x

=

2-(a+1)x

x(2-x)

當a=-1時，f′(x)=

2

x(2-x)

，所以在區間（0，2）上，f'（x）＞0，
故函數f（x）的單調遞增區間是（0，2）；
當a＞-1時，令f′(x)=

2-(a+1)x

x(2-x)

=0，解得x=

2

a+1

，
①當

2

a+1

≥2時，即-1＜a≤0時，在區間（0，2）上，f'（x）＞0，
故函數f（x）的單調遞增區間是（0，2）；
②當0＜

2

a+1

＜2時，即a＞0時，在區間(0，

2

a+1

)上，f'（x）＞0，
在區間(

2

a+1

，2)上，f'（x）＜0，故函數f（x）的單調遞增區間是(0，

2

a+1

)，單調遞減區間是(

2

a+1

，2)．
（Ⅲ）當x∈（0，1]且m＞0時，g′(x)=

1

x

-

1

2-x

+m=

2(1-x)

x(2-x)

+m＞0，
即函數在區間（0，1]上是增函數，故函數g（x）在（0，1]上的最大值為g（1），
所以g(1)=m=

1

2

，即m=

1

2

．

點評：本題考查利用函數的導數求解有關函數的最值和單調性的問題，本題解題的關鍵是針對于導函數的討論，在a值不同的情況下，所得到結論不同，注意a的取值．