Question

設方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分別為p和q，函數f（x）=（x+p）（x+q）+2，則（ ）
A．f（2）=f（0）＜f（3）
B．f（0）＜f（2）＜f（3）
C．f（3）＜f（0）=f（2）
D．f（0）＜f（3）＜f（2）

Answer 1

【答案】分析：把兩個方程分別看作指數函數與直線y=-x-2的交點B和對數函數與直線y=-x-2的交點A的橫坐標分別為p和q，而指數函數與對數函數互為反函數則關于y=x對稱，求出AB的中點坐標得到p+q=-2；然后把函數f（x）化簡后得到一個二次函數，對稱軸為直線x=-=1，所以得到f（2）=f（0）且根據二次函數的增減性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．
解答：解：方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0可以分別看作方程方程2^x=-x-2和方程log₂x=-x-2，方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分別為p和q即分別為函數y=2^x與函數y=-x-2的交點B橫坐標為p；y=log₂^x與y=-x-2的交點C橫坐標為q．由y=2^x與y=log₂^x互為反函數且關于y=x對稱，所以BC的中點A一定在直線y=x上，聯立得解得A點坐標為（-1，-1）根據中點坐標公式得到=-1即p+q=-2，
則f（x）=（x+p）（x+q）+2=x²+（p+q）x+pq+2為開口向上的拋物線，且對稱軸為x=-=1，
得到f（0）=f（2）且當x＞1時，函數為增函數，所以f（3）＞f（2），
綜上，f（3）＞f（2）=f（0）
故選A
點評：此題是一道綜合題，考查學生靈活運用指數函數、對數函數的圖象與性質，要求學生掌握反函數的性質，會利用二次函數的圖象與性質解決實際問題．