Question

已知函數在點處的切線方程為，且對任意的，恒成立.
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）求實數的最小值；
（Ⅲ）求證：（）.

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ） 
（Ⅲ）先證，累加即得.

試題分析：（Ⅰ）將代入直線方程得，∴① 
，∴②  
聯立，解得∴                                
（Ⅱ），∴在上恒成立；
即在恒成立；         
設，，
∴只需證對于任意的有                 

設，
1）當，即時，，∴
在單調遞增，∴                 
2）當，即時，設是方程的兩根且
由，可知，分析題意可知當時對任意有；
∴，∴                              
綜上分析，實數的最小值為.                             
（Ⅲ）令，有即在恒成立；
令，得        

∴原不等式得證.  
點評：本題考查了利用導數研究函數的切線方程問題，在曲線上某點處的切線的斜率就是該點的導數值，考查了導數在最大值和最小值中的應用，體現了數學轉化思想和分類討論的數學思想．特別是（Ⅲ）的證明，用到了放縮法和裂項相消，此題屬難度較大的題目．