Question

設正數數列{a_n}的前n項和S_n滿足Sn=

1

4

(an+1)2．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設bn=

1

an•an+1

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知a₁=1.an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，由此能夠推導出a_n．
（Ⅱ）由題意知T_n=b₁+b₂++b_n=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)++

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a1=S1=

1

4

(a1+1)2，
∴a₁=1．（2分）
∵Sn=

1

4

(an+1)2，①
∴Sn-1=

1

4

(an-1+1)2（n≥2）．②
①-②，得an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，
整理得，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，（5分）
∵a_n＞0
∴a_n+a_n-1＞0．
∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2（n≥2）．（7分）
故數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列．
∴a_n=2n-1．（9分）
（Ⅱ）∵bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，（11分）
∴T_n=b₁+b₂+b_n=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)++

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

． （14分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意挖掘隱含條件，認真審題，仔細解答．