Question

設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=

1

2

(an+

1

an

)，（n∈N^*）．
（Ⅰ）試求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想a_n的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（I）由Sn=

1

2

(an+

1

an

)，n分別取1，2，3，代入計(jì)算，即可求得結(jié)論；
（II）猜想an=

n

-

n-1

(n∈N*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是n=k+1時(shí)，變形利用歸納假設(shè)．

解答：解：（I）∵Sn=

1

2

(an+

1

an

)
∴n=1時(shí)，S1=

1

2

(a1+

1

a1

)，∴a₁=±1，∵a₁＞0，∴a₁=1
n=2時(shí)，S2=

1

2

(a2+

1

a2

)，∴1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，∵a₂＞0，∴a2=

2

-1
n=3時(shí)，S3=

1

2

(a3+

1

a3

)，∴

2

+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)，∵a₃＞0，∴a3=

3

-

2

，
（II）猜想an=

n

-

n-1

(n∈N*)
下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時(shí)，a₁=1，滿(mǎn)足an=

n

-

n-1

；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，結(jié)論成立，即ak=

k

-

k-1

，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)
∴ak+1-

1

ak+1

=-ak-

1

ak

=-

k

+

k-1

-

k

-

k-1

=-2

k

解方程得ak+1=

k+1

-

k

，即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立
由①②可知，猜想成立

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．