Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，，點，是橢圓的左右頂點，點是橢圓上一動點，的周長為6，且直線，的斜率之積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若、為橢圓上位于軸同側的兩點，且，求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據題意，得到，，再由，求出，，即可得出橢圓方程；

（2）由得，延長交橢圓于點，設，，直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理，弦長公式，以及三角形面積公式，得到四邊形的面積，令，，得到，進而可得出結果.

（1）∵的周長為6，∴，即，①

設，因為點，是橢圓的左右頂點，則，，

因為直線，的斜率之積為，

所以，即，

又，所以，所以②

聯立①②及，解得，，．

∴橢圓的方程為；

（2）∵，∴，

延長交橢圓于點，設，，

由（1）知，，直線的方程為，

聯立，得．

∴，．

由對稱性可知，，設與的距離為，

則四邊形的面積

．

∴

．

令，．

∴．

易知：在上單調遞減，∴．

故四邊形面積的取值范圍為．