Question

【題目】己知函數，其中.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）設，，若存在，對任意的實數，恒有成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求導后討論的正負號，即可說明導函數的正負號，即可說明單調性。

（Ⅱ）題干等價于存在，對任意的實數，恒有，記即討論的取值，判斷在的單調性，求出其最小值使成立。

解：（Ⅰ）由題，

（1）當時，恒成立，

故此時函數在上單調遞增；

（2）當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

（Ⅱ）不等式

記，，

則，

其中

由（Ⅰ）可知函數在上單調遞增，在上單調遞減，

（1）若，則，，

函數在區間上單調遞增，

，

（2）若即時，，

函數在區間上單調遞減，

，

；

（3）當時，此時且在內遞減，

在區間內有唯一零點，記為，

函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增

從而，其中

，

令，，則

所以，

綜上，當時，取到最大值為.