Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣alnx，其中a＞0，x＞0，e是自然對數的底數． （Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設函數g（x）= ，證明：0＜g（x）＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） = = =
①當0＜a≤1時，ex＞a，當x∈（0，1），f'（x）＜0；當x∈（1，+∞），f'（x）＞0；
所以f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
②當1＜a＜e時，令ex=a，得x=lna∈（0，1），
由f'（x）＜0得lna＜x＜1，由f'（x）＞0得0＜x＜lna或x＞lna，
所以f（x）在（0，lna），（1，+∞）上單調遞增，在（lna，1）上單調遞減．
③當a=e時，令ex=a，f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上遞增．
④當a＞e時，令ex=a，得x=lna∈（1，+∞），
由f'（x）＜0得1＜x＜lna，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞lna，
所以f（x）在（0，1），（lna，+∞）上單調遞增，在（1，lna）上單調遞減．
綜上，當0＜a≤1時，f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
當1＜a＜e時，f（x）在（0，lna），（1，+∞）上單調遞增，在（lna，1）上單調遞減．
當a=e時，f（x）在（0，+∞）上遞增．
當a＞e時，f（x）在（0，1），（lna，+∞）上單調遞增，在（1，lna）上單調遞減．
（Ⅱ）證明：0＜g（x）＜1 1+xlnx＞0①且 ②
先證①：令h（x）=1+xlnx，則h（x）=1+lnx，
當 ，h'（x）＜0，h（x）單調遞減；當 ，h'（x）＞0，h（x）單調遞增；
所以 = = ，故①成立！
再證②：由（Ⅰ），當a=1時， 在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
所以f（x）≥f（1）=e﹣1＞0，故②成立！
綜上，0＜g（x）＜1恒成立
【解析】（Ⅰ）求出 ，根據0＜a≤1，1＜a＜e，a=e，a＞e進行分類討論，利用導數性質能討論f（x）的單調性．（Ⅱ）0＜g（x）＜1等價于1+xlnx＞0，且 ，由此利用導數性質能證明0＜g（x）＜1．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．