Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+
（1）若函數有兩個極值點，求實數a的取值范圍；
（2）對所有的a≥ ，m∈（0，1），n∈（1，+∞），求f（n）﹣f（m）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，

由題意得x2﹣（a+2）x+1=0在x＞0且x≠1有2個不同實根，

∴ 且1﹣（a+2）+1≠0

解得：a＞0

（2）解：由于1﹣（a+2）+1=﹣a＜0，

∴由（1）可得g（x）=x2﹣（a+2）x+1在（0，1），（1，+∞）各有1個零點，

設為x1，x2，且函數f（x）在（0，x1）遞增，在（x1，1）遞減，在（1，x2）遞減，在（x2，+∞）遞增，

∴f（n）﹣f（m）≥f（x2）﹣f（x1）=ln +a ，

∵x2﹣（a+2）x+1=0的兩個根是x1，x2，

∴x1x2=1，x1+x2=a+2，x2﹣x1= ，

x1= ，x2= ，

代入得：ln +a =ln + ，

當a= 時取最小值ln4+

【解析】（1）求出函數的導數，得到關于a的不等式組，解出即可；（2）求出f（x）的單調區間，得到x1x2=1，x1+x2=a+2，x2﹣x1= 以及x1 ， x2 ， 代入f（n）﹣f（m）的表達式即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．