Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，兩個頂點分別為A₁（-a，0）、A₂（a，0），若在雙曲線上存在一點P，使得在△PA₁A₂中，∠PA₁A₂=30°，∠PA₂A₁=120°，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A．

  3

• B．

  3 +1

  2

• C．

  2

• D．

  3

  +1

Answer 1

分析：設P（m，n），根據直線的斜率公式算出kA1P•kA2P=

n2

m2-a2

=1，結合點P在雙曲線上化簡可得a=b，由此算出c=

2

a，即可得到該雙曲線的離心率．

解答：解：由題意，得A₁（-a，0）、A₂（a，0），
設P（m，n），則
kA1P=

n

m+a

=tan30°=

3

3

，kA2P=

n

m-a

=-tan120°=

3

∴kA1P•kA2P=

n2

m2-a2

=1
又∵P（m，n）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上的點，
∴

m2

a2

-

n2

b2

=1，解得n2=b2(

m2

a2

-1)=

b2

a2

(m2-a2)
因此

n2

m2-a2

=

b2 a2 (m2-a2)

m2-a2

=1，化簡得a=b
∴c=

a2+b2

=

2

a，雙曲線的離心率e=

c

a

=

2

故選：C

點評：本題給出雙曲線上一點P對兩個頂點構成頂角為120度的等腰三角形，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、直線的斜率公式等知識，屬于中檔題．