Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F作垂直于x軸的直線交拋物線于A，B，兩點，△AOB的面積為8，直線l與拋物線C相切于Q點，P是l上一點（不與Q重合）．

（1）求拋物線C的方程；
（2）若以線段PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過F，求|PF|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得：F的坐標(biāo)為 ，|AB|=2p，

∴ ，

∴p=4，

∴拋物線方程為y2=8x；

（2）解：設(shè)Q（x0，y0），P（x1，y1）

設(shè)直線為l：y﹣y0=k（x﹣x0），聯(lián)立方程 得

利用△=0化簡可得： ，

又∵ ，可得

∴直線l：y0y=4（x+x0），

∵ ， ，

∴ ，

∵y1y0=4（x0+x1），

∴x1x0+2（x0+x1）+4=（x1+2）（x0+2）=0，

∵x0＞0，

∴x1+2=0，

∴x1=﹣2，

即點P是拋物線準(zhǔn)線x=﹣2上的點

∴PF的最小值是4

【解析】（1）F的坐標(biāo)為 ，根據(jù)三角形的面積即可求出p的值，問題得以解決；（2）設(shè)Q（x0 ， y0），P（x1 ， y1）設(shè)直線為l：y﹣y0=k（x﹣x0），根據(jù)韋達定理求出和向量的數(shù)量積的運算，即可求出x1的值，問題得以解決．