Question

【題目】某廠家擬舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元（）滿足（為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件.已知年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.

（1）將該產品的年利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；

（2）該廠家年促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

【答案】（1） ；（2）廠家年促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大

【解析】

（1）先求出，利用題設中給出的計算公式可得故.

（2）利用基本不等式可求函數的最大值.

（1）由題意可知，當時， （萬件），

所以，所以，所以，

每件產品的銷售價格為 （萬元），

所以年利潤

所以，其中.

（2）因為時，，即

所以，當且僅當，即 （萬元）時， （萬元）.

所以廠家年促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大.