Question

【題目】如圖所示，過點P分別做圓O的切線PA、PB和割線PCD，弦BE交CD于F，滿足P、B、F、A四點共圓．
（Ⅰ）證明：AE∥CD；
（Ⅱ）若圓O的半徑為5，且PC=CF=FD=3，求四邊形PBFA的外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】（ I）證明：連接AB．
∵P、B、F、A四點共圓，∴∠PAB=∠PFB．
又PA與圓O切于點A，∴∠PAB=∠AEB，
∴∠PFB=∠AEB∴AE∥CD．
（ II）解：因為PA、PB是圓O的切線，所以P、B、O、A四點共圓，
由△PAB外接圓的唯一性可得P、B、F、A、O共圓，
四邊形PBFA的外接圓就是四邊形PBOA的外接圓，∴OP是該外接圓的直徑．
由切割線定理可得PA2=PCPD=3×9=27
∴ ．
∴四邊形PBFA的外接圓的半徑為 ．

【解析】（Ⅰ）連接AB，利用P、B、F、A四點共圓，PA與圓O切于點A，得出兩組角相等，即可證明：AE∥CD；（Ⅱ）四邊形PBFA的外接圓就是四邊形PBOA的外接圓，OP是該外接圓的直徑，由切割線定理可得PA，即可求四邊形PBFA的外接圓的半徑．