Question

設函數f(x)=cos(

3

x+φ）（0＜φ＜π），且f（x）+f′（x）為奇函數．
（1）求φ的值；
（2）求f（x）+f′（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）由已知利用輔助角公式可得，
f（x）+f'（x）=cos(

3

x+φ)-

3

sin(

3

x+φ)=2sin(

3

x+φ+

5π

6

)，
由f（x）+f'（x）為奇函數，根據奇函數的性質可得，f（0）+f'（0）=0，從而可求φ的值
（2）由（1）得f（x）+f'（x）=2sin(

3

x+π)=-2sin

3

x．
，根據正弦函數的性質可求最值

解答：解：（1）f（x）+f'（x）=cos(

3

x+φ)-

3

sin(

3

x+φ)=2sin(

3

x+φ+

5π

6

)，
又f（x）+f'（x）是奇函數，
∴f（0）+f'（0）=0，又0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

．
（2）由（1）得f（x）+f'（x）=2sin(

3

x+π)=-2sin

3

x．
∴f（x）+f'（x）的最大值為2，最小值為-2．

點評：本題主要考查了奇函數的性質：若函數g（x）為奇函數，且0在定義域內，則g（0）=0，利用該性質可以簡化運算；三角函數的輔助角公式 的應用，正弦函數的最值的求解．