Question

已知二次函數y=f（x）的圖象經過坐標原點，且f′（x）=2x+1，數列{a_n}的前n項和Sn=f(n)(n∈N*)．
（1）求數列y=f（x）的解析式；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）利用導數知識求出數列y=f（x）的解析式．
（2）利用f（x）=x²+x，Sn=f(n)，n∈N*，先求出S_n的關系式，然后利用S_n與a_n的關系求a_n；
（3）由S_n=n²+n=n（n+1），知

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此能求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

解答：解：（1）由f′（x）=2x+1，
得f（x）=x²+x+b，（b∈R）
因為y=f（x）的圖象過原點，
所以f（x）=x²+x．
（2）∵f（x）=x²+x，Sn=f(n)，n∈N*，
∴S_n=n²+n．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n，
又因為a₁=S₁=2，適合a_n=2n，
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=2n．（n∈N^*）（4分）
（3）∵S_n=n²+n=n（n+1），
∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：求解有關數列的綜合題，首先要善于從宏觀上整體把握問題，能透過給定信息的表象，揭示問題的本質，然后在微觀上要明確解題方向，化難為易，化繁為簡，注意解題的嚴謹性．數列問題對能力要求較高，特別是運算能力、歸納、猜想能力、轉化能力、邏輯推理能力更為突出．而解答題更是考查能力的集中體現，尤其近幾年高考加強了數列推理能力的考查，應引起我們足夠的重視，因此，在平時要加強對能力的培養．