Question

已知二次函數y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，且在x軸上截得的線段長為2．若f（x）的最小值為-1，求：
（1）函數f（x）的解析式；
（2）函數f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．

Answer 1

分析：（1）待定系數法：根據圖象的對稱軸及最小值可設f（x）=a（x-2）²-1，由在z軸上截得線段長為2可知f（x）過點（1，0），帶入即可求得f（x）；
（2）數形結合：分三種情況討論：對稱軸在區間[t，t+1]的右側、在區間內、在區間左側．

解答：解：（1）因為y=f（x）的對稱軸為x=2，f（x）的最小值為-1，
所以y=f（x）的頂點為（2，-1），
所以y=f（x）的解析式可設為f（x）=a（x-2）²-1，
又因為f（x）在x軸上截得的線段長為2，所以過（1，0）點，所以0=a（1-2）²-1，解得a=1．
所以y=f（x）的解析式為f（x）=（x-2）²-1．
（2）①當t+1＜2即t＜1時，g（t）=f（t+1）=（t-1）²-1；
②當t≤2，t+1≥2即1≤t≤2時，g（t）=f（2）=-1；
③當t＞2時，g（t）=f（t）=（t-2）²-1；
綜上得 g(t)=

(t-1)2-1，t＜1 -1，1≤t≤2 (t-2)2-1，t＞2

．

點評：本題考查二次函數解析式的求解及二次函數在動區間上的最值問題，注意體會本題中數形結合思想及分類討論思想的運用．