Question

【題目】三棱錐P ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個動點，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為(　　)

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據題意畫出圖形，結合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，

求出外接球的半徑，再計算它的表面積．

三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，

如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，

∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，

∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；

取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，

∴=2r，解得r=2；

∴O′A=2，

取H為PA的中點，∴OH=O′A=2，PH=，

由勾股定理得OP=R==，

∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是

S=4πR2=4×=57π．

故答案為：C