Question

已知雙曲線的兩個焦點為F：(－2，0)，F：(2，0)，點P(3，)的曲線C上．

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)記O為坐標原點，過點Q(0，2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：依題意，由a2＋b2＝4，得雙曲線方程為(0＜a2＜4)， 　　將點(3，)代入上式，得．解得a2＝18(舍去)或a2＝2， 　　故所求雙曲線方程為 　　(Ⅱ)解：依題意，可設直線l的方程為y＝kx＋2，代入雙曲線C的方程并整理， 　　得(1－k2)x2－4kx－6＝0． 　　∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F， 　　∴ 　　∴k∈(－)∪(1，)． 　　設E(x1，y1)，F(x2，y2)，則由①式得x1＋x2＝于是 　　|EF|＝ 　　＝ 　　而原點O到直線l的距離d＝， 　　∴SΔOEF＝ 　　若SΔOEF＝，即解得k＝±， 　　滿足②，故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y＝和