Question

【題目】已知橢圓（）的左、右焦點分別為， ，點在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在斜率為2的直線，使得當直線與橢圓有兩個不同交點時，能在直線上找到一點，在橢圓上找到一點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由焦點坐標可得，再根據及點在橢圓上，可得，進而可得橢圓的方程；（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯立可得，與判別式為正可得，再根據平行四邊形性質及韋達定理可得點的縱坐標范圍是，可判定點不在橢圓上，所以這樣的直線不存在．

試題解析：（1）設橢圓的焦距為，則，

因此橢圓方程為

在橢圓上， 解得

故橢圓的方程為．

（2）假設存在這樣的直線 設直線的方程為，

設， ， ， ， 的中點為，

由得，

所以，且，則，

由知四邊形為平行四邊形，

而為線段的中點，因此， 也是線段的中點，

所以，可得，

又，所以，

因此點不在橢圓上．

所以這樣的直線l不存在

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓的標準方程、韋達定理以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在，注意：①當條件和結論不唯一時要分類討論；②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；③當條件和結論都不知，按常規方法題很難時采取另外的途徑.