Question

已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、、構成等差數列．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖7，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點是直線上的兩點，且，． 求四邊形面積的最大值．

Answer 1

（1）橢圓的方程為．(2)以四邊形的面積的最大值為。

解析試題分析：（1）依題意，設橢圓的方程為．
構成等差數列，
， ．
又，．
橢圓的方程為．  4分 
(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中，得．              5分
由直線與橢圓僅有一個公共點知，，
化簡得：．                        7分
設，，    9分
（法一）當時，設直線的傾斜角為，
則，
，       
， 11分
，當時，，，．
當時，四邊形是矩形，．   13分
所以四邊形面積的最大值為．    14分
（法二），
．
．
四邊形的面積， 11分 
．   13分
當且僅當時，，故．
所以四邊形的面積的最大值為．     14分
考點：本題主要考查等差數列，橢圓標準方程，直線與橢圓的位置關系，面積計算。
點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓、標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質。解題過程中，運用等差數列的基礎知識求得了a,b,c的關系。