Question

（本題滿分14分）如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB= AD=2．

（1）證明：面BDD₁ B₁⊥面ACD₁；
（2）若E是BC₁的中點，P是AC的中點，F是A₁C₁上的點， C₁F=mFA₁，試求m的值，使得EF∥D₁P．

Answer 1

（1）略（2）略

證明（1）：在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB= AD=2，故四邊形ABCD是正方形，AP⊥DP，又∵D₁D⊥面ABCD，AP面ABCD∴D₁D⊥AP ，D₁D∩DP=D∴AP⊥面BDD₁B₁  ∵AP面AD₁C
∴面BDB₁D₁⊥面ACD₁  ----7分
解（2）：記A₁C₁與B₁D₁的交點為Q，連BQ，
∵P是AC的中點，∴D₁P∥BQ，要使得EF∥D₁P，則必有EF∥BQ
在△QBC₁中，E是BC₁的中點， F是QC₁上的點，EF∥BQ
∴F是QC₁的中點，即3C₁F=FA₁，故所求m的值是． ----14分
點評：本題考查空間想象能力、邏輯推理能力，線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直，屬于中檔題，