Question

（本題滿分12分） 如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中點 （1）求證B₁D⊥平面ABD；
 （2）平面AB₁D與側面BB₁C₁C所成銳角的大小        C₁               B₁

Answer 1

 (Ⅰ)略   (Ⅱ)  

方法一：（1）在中，

，， 
∴，同理  
在中，∵ ∴
即又∵在直三棱柱中，
∴平面， 而平面，∴
 ∴平面； 6分
（2）由（1）知，，平面平面
∴就是平面與側面所成角的平面角
在中，，，
∴，∴.
即平面與側面所成銳角的大小為. …12分
方法二：
如圖所示建立空間直角坐標系則，于是

（1）∵，
∴，，即，，又 ∴平面；…6分
（2）設平面的法向量為，則由得
令得 ∴，易知平面的法向量為，
設平面與平面所成角的大小為，則.
即平面與側面所成銳角的大小為.               …12分