Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，是的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求證：平面底面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ).

【解析】試題分析：（1）根據(jù)計(jì)算可得，由等腰三角形性質(zhì)得，由線面垂直判定定理得平面，再根據(jù)面面垂直判定定理得平面底面；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得兩平面法向量夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系確定結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，∵四邊形是直角梯形，，，為的中點(diǎn)，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴，∵是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是的中點(diǎn)，∴，，在中，，，有，∴，∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴平面底面；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知能以為原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立坐標(biāo)系如圖，則，，∵，，，是的中點(diǎn)，∴ ， ，∴ ，又∵，∴，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，即，令，得，又為平面的一個(gè)法向量，∴，∴二面角為.

點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.