Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，.

（1）證明：平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角為，若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，

【解析】

（1）易得，同時(shí)由直三棱柱的性質(zhì)可得平面平面，又，所以平面，得，故可得平面；

（2）分別以，，方向?yàn)?/span>，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，由空間向量法可得的值.

（1）由已知可得四邊形為正方形，所以，

因?yàn)閹缀误w是直三棱柱，

所以平面平面，

又，所以平面，得，

因?yàn)?/span>，所以平面，

（2）如圖，

由已知，，兩兩垂直，分別以，，方向?yàn)?/span>，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，

，

取，得，

平面的一個(gè)法向量為.

所以

解得，因?yàn)?/span>，所以，

所以線段上存在點(diǎn)，且，使得平面與平面所成的銳二面角為.