Question

【題目】已知f（x）= （m∈R，x＞m）．
（1）若f（x）+m≥0恒成立，求m的取值范圍；
（2）若f（x）的最小值為6，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）+m≥0恒成立，∴ +m≥0，化為：x2+mx+3﹣m2≥0，令g（x）=x2+mx+3﹣m2，（x＞m），g′（x）=2x+m，令g′（x）=2x+m=0，解得x=﹣ ．①m≥0時，m＞﹣ ，則g（x）在（m，+∞）上單調遞增，∴g（x）≥g（m）=m2+3＞0，滿足條件．②m＜0時，m＜﹣ ，則g（x）在x=﹣ 時取得最小值，∴ = ﹣ +3﹣m2≥0，解得： ≤m＜0．綜上可得：m的取值范圍是 ．
（2）解：∵f（x）的最小值為6，f（x）= ≥6，對于m∈R，x＞m恒成立，

∴x2﹣6x+9≥6﹣6m，即（x﹣3）2≥6﹣6m，

①m≥1時，6﹣6m≤0，x＞m時，（x﹣3）2≥0，此時恒成立．

②m＜1時，x=3時，6m﹣6≥0，解得m≥1舍去．

綜上可得：m≥1．

∴f（x）的最小值為6時，m=1．

【解析】（1）f（x）+m≥0恒成立，可得 +m≥0，化為：x2+mx+3﹣m2≥0，令g（x）=x2+mx+3﹣m2 ， （x＞m），通過對m分類討論，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．（2）f（x）的最小值為6，f（x）= ≥6，對于m∈R，x＞m恒成立，可得x2﹣6x+9≥6﹣6m，即（x﹣3）2≥6﹣6m，對m分類討論，利用二次函數的單調性即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)．