Question

已知函數f（x）=（常數a＞0），且f（1）+f（3）=-2．
（1）求a的值；
（2）試研究函數f（x）的單調性，并比較f（t）與的大小；
（3）設g（x）=，是否存在實數m使得y=g（x）有零點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）有條件f（1）+f（3）=-2易得a的值．
（2）可利用定義討論函數的單調性．
（3）實際上是根的存在行問題，可以通過等價轉化求解．
解答：解：（1）由f（1）+f（3）=+=-2．
有a（a-2）=0．
又a＞0，所以a=2．
（2）由（1）知函數f（x）=，
其定義域為（-∞，2）∪（2，+∞），
設x₁、x₂∈（-∞，2）且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=-=＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在區間（-∞，2）上是增函數，同理可得，f（x）在區間（2，+∞）上是增函數．
令h（x）==+2，
則函數h（x）在區間（-∞，0），（0，+∞）上是減函數，
當t∈時，f（t）＞f=，
h（t）＜h=-1，2^h（t）＜2^-1=，
所以f（t）＞．
當t∈時，f（t）＜f=7，h（t）＞h=，
2^h（t）＞＞2³=8，所以f（t）＜．
綜上，當t∈時，f（t）＞；
當t∈時，f（t）＜．
（3）g（x）=．
由題意可知，方程在{x|x≥-2且x≠2}中有實數解，
令=t，則t≥0且t≠2，
問題轉化為關于t的方程mt²-t+2=0①，
有非負且不等于2的實數根．
若t=0，則①為2=0，顯然不成立，
故t≠0，方程①可變形為m=-2²+，
問題進一步轉化為求關于t的函數（t≥0且t≠2）的值域，
因為t≥0且t≠2，所以＞0且≠，
所以m=-2²+∈（-∞，0）∪（0，]，
所以實數m的取值范圍是（-∞，0）∪（0，]．
點評：本題主要考查了函數的單調性以及根的存在性問題，比較復雜，但解題方法均為基本方法，要求掌握．