Question

設函數f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.
(1)求f(x)的單調區間;
(2)當x>0時,證明不等式:<ln(x+1)<x;
(3)設f(x)的最小值為g(a),證明不等式:-1<ag(a)<0

Answer 1

(1) f(x)在(-1,)為減，在（，+）為增
(2)將所證明的不等式利用構造函數，借助于導數的思想求解最值，來證明不等式恒大于等于零或者恒小于等于零即可。
(3)在上一問的基礎上，進一步分析得到a的表達式，利用構造函數來求證。

試題分析：解：（1）f’(x)=(x>-1,a>0)
令f’(x)=0
f(x)在(-1,)為減，在（，+）為增 f (x)_min=f()=1-(a+1)ln(+1)
（2）設F(x)=ln(x+1)-
F’(x)=F(x)在（0，+）為增函數
F(x)>F(0)="0" F(x)>0即
G(x)=x-ln(x+1)(x>0)
G’(x)=1-   G(x)在（0，+）為增函數
G(x)>G(0)="0"  G(x)>0即ln(x+1)<x
經上可知
（3）由（1）知：





點評：導數在函數中的應用，頻率最多的試題就是考查函數的單調性，以及證明不等式。那么對于后者的求解，關鍵是構造函數，借助于函數的最值來得到證明。