Question

（2013•廣東）（幾何證明選講選做題）
如圖，在矩形ABCD中，AB=

3

，BC=3，BE⊥AC，垂足為E，則ED=

21

2

．

Answer 1

分析：由矩形ABCD，得到三角形ABC為直角三角形，由AB與BC的長，利用勾股定理求出AC的長，進而得到AB為AC的一半，利用直角三角形中直角邊等于斜邊的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的長，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的長．

解答：解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，AB=

3

，BC=3，根據勾股定理得：AC=2

3

，
∴AB=

1

2

AC，即∠ACB=30°，EC=

BC2

AC

=

3 3

2

，
∴∠ECD=60°，
在△ECD中，CD=AB=

3

，EC=

3 3

2

，
根據余弦定理得：ED²=EC²+CD²-2EC•CDcos∠ECD=

27

4

+3-

9

2

=

21

4

，
則ED=

21

2

．
故答案為：

21

2

點評：此題考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性質，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．