Question

（本小題滿分12分）某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間（單位：分鐘），并將所得數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學所需時間的范圍是，樣本數據分組為，，，，.
（Ⅰ）求直方圖中的值；
（Ⅱ）如果上學所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿，
請估計學校600名新生中有多少名學生可以申請住宿；
（Ⅲ）從學校的新生中任選4名學生，這4名學生中上學所需時間
少于20分鐘的人數記為，求的分布列和數學期望.（以直方圖中新生上學所需時間少于20分鐘的頻率作為每名學生上學所需時間少于20分鐘的概率）

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）以600名新生中有72名學生可以申請住宿.
（Ⅲ）的分布列為：

	0	1	2	3	4

.（或）
所以的數學期望為1.

本試題主要是考查了直方圖的運用，求解頻率和古典概型概率的計算、分布列和期望值的綜合運用。
（1）由直方圖可得：.
所以 .
（2）新生上學所需時間不少于1小時的頻率為：，  …4分
因為，所以600名新生中有72名學生可以申請住宿
（3）因為由直方圖可知，每位學生上學所需時間少于20分鐘的概率為，
和隨機變量的各個取值，得到分布列和期望值。
解：（Ⅰ）由直方圖可得：.
所以 .                    ………………………………………2分
（Ⅱ）新生上學所需時間不少于1小時的頻率為：，  …4分
因為，所以600名新生中有72名學生可以申請住宿. …5分
（Ⅲ）的可能取值為0，1，2，3，4.        ………………………………………6分
由直方圖可知，每位學生上學所需時間少于20分鐘的概率為，
,       ,
,,
.  ………………………10分
所以的分布列為：

	0	1	2	3	4

.（或）
所以的數學期望為1.                 ………………………………………12分