Question

已知.
（Ⅰ）當時,判斷的奇偶性,并說明理由；
（Ⅱ）當時,若,求的值；
（Ⅲ）若,且對任何不等式恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）既不是奇函數,也不是偶函數；（Ⅱ）或；
（Ⅲ）當時,的取值范圍是；當時,的取值范圍是；當時,的取值范圍是.

試題分析：（Ⅰ）對函數奇偶性的判斷，一定要結合函數特征先作大致判斷，然后再根據奇函數偶函數的定義作嚴格的證明.當時,，從解析式可以看出它既不是奇函數,也不是偶函數.對既不是奇函數,也不是偶函數的函數，一般取兩個特殊值說明.
（Ⅱ）當時,, 由得，這是一個含有絕對值符號的不等式，對這種不等式，一般先分情況去絕對值符號.這又是一個含有指數式的不等式，對這種不等式，一般將指數式看作一個整體，先求出指數式的值，然后再利用指數式求出的值.
（Ⅲ）不等式恒成立的問題，一般有以下兩種考慮，一是分離參數，二是直接求最值.在本題中，分離參數比較容易.分離參數時需要除以，故首先考慮的情況. 易得時,取任意實數,不等式恒成立.
,此時原不等式變為；即，這時應滿足：，所以接下來就求的最大值和的最小值.在求這個最大值和最小值時，因數還有一個參數，所以又需要對進行討論.
試題解析：（Ⅰ）當時,既不是奇函數也不是偶函數  
∵,∴ 
所以既不是奇函數,也不是偶函數           3分
（Ⅱ）當時,, 由得  
即或  
解得 
所以或           8分
（Ⅲ）當時,取任意實數,不等式恒成立,
故只需考慮,此時原不等式變為；即
故
又函數在上單調遞增,所以;
對于函數 
①當時,在上單調遞減,,又,
所以,此時的取值范圍是  
②當,在上,,
當時,,此時要使存在,
必須有    即,此時的取值范圍是
綜上,當時,的取值范圍是;
當時,的取值范圍是;
當時,的取值范圍是           13分