Question

已知⊙O1：(x-1)2+y2=9，⊙O2：x2+y2-10x+m2-2m+17=0(m∈R)．
（Ⅰ）求⊙O₂半徑的最大值；
（Ⅱ）當⊙O₂半徑最大時，試判斷⊙O₁和⊙O₂的位置關系；
（Ⅲ）⊙O₂半徑最大時，如果⊙O₁和⊙O₂相交．
（1）求⊙O₁和⊙O₂公共弦所在直線l₁的方程；
（2）設直線l₁交x軸于點F，拋物線C以坐標原點O為頂點，以F為焦點，直線l₂：y=k（x-3）（k≠0）與拋物線C相交于A、B兩點，證明：

OA

•

OB

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把第二個圓的方程化為標準形式，再利用二次函數的性質，求得⊙O₂半徑的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當⊙O₂半徑最大時，⊙O₁和⊙O₂是半徑為3的等圓，再根據圓心距小于半徑之和可得⊙O₁和⊙O₂相交．
（Ⅲ）求得⊙O₂半徑最大時的方程為（x-5）²+y²=9，它與⊙O1：(x-1)2+y2=9相交，將兩方程相減得公共弦所在直線l₁的方程．
（2）由條件求得拋物線C：y²=12x，把y=k（x-3）（k≠0）代入y²=12x化簡，并利用韋達定理求得y₁y₂和x₁x₂的值，計算求得

OA

•

OB

為定值．

解答：解：（Ⅰ） x²+y²-10x+m²-2m+17=0（m∈R）可以化成（x-5）²+y²=-（m-1）²+9，
設⊙O₂半徑為r，則r²=-（m-1）²+9≤9，∴r≤3，
所以⊙O₂半徑的最大值為3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當⊙O₂半徑最大時，⊙O₁和⊙O₂是半徑為3的等圓，O₂（5，0），
又∵⊙O1：(x-1)2+y2=9，∴O₁（1，0），∴|O₁O₂|=4．
∴⊙O₁和⊙O₂相交．
（Ⅲ）（1）由（Ⅰ）知，⊙O₂半徑最大時的方程為（x-5）²+y²=9，它與⊙O1：(x-1)2+y2=9相交，將兩方程相減得公共弦所在直線l₁的方程為：x=3．
（2）由（1）知F（3，0），∵拋物線C以F（3，0）為焦點，以原點O為頂點，∴C：y²=12x．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由y=k（x-3）（k≠0）得：x=

y

k

+3，將它代入y²=12x化簡得：ky²-12y-36k=0，
∴y₁y₂=-36．∴x1x2=

y 2 1

12

•

y 2 2

12

=

(y1y2)2

12×12

=9，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-27，即

OA

•

OB

為定值．

點評：本題主要考查圓和圓的位置關系的判斷，直線和圓相交的性質，二次函數的性質，屬于中檔題．