Question

一動圓與已知⊙O₁：(x+

2

)2+y2=1相外切，與⊙O₂：(x-

2

)2+y2=(2

3

-1)2相內切．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C；
（Ⅱ）若軌跡C與直線y=kx+m （k≠0）相交于不同的兩點M、N，當點A（0，-1）滿足|

AM

|=|

AN

|時，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由動圓與已知⊙O₁：(x+

2

)2+y2=1相外切，可得到|MO₁|=1+R，由與⊙O₂：(x-

2

)2+y2=(2

3

-1)2相內切，可得，|MO₂|=（2

3

-1）-R，從而|MO₁|+|MO₂|=2

3

．根據橢圓的定義可得M點的軌跡是以O₁，O₂為焦點的橢圓，故可求橢圓的標準方程．
（Ⅱ）直線y=kx+m與橢圓的標準方程聯立，消去y得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，所以△=-12m²+36k²+12＞0⇒m²＜3k²+1．設P為MN的中點，則MN⊥AP，可得2m=3k²+1，從而可求m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設動圓圓心為M（x，y），半徑為R，則由題設條件，可知：
|MO₁|=1+R，|MO₂|=（2

3

-1）-R，∴|MO₁|+|MO₂|=2

3

．
由橢圓定義知：M在以O₁，O₂為焦點的橢圓上，且a=

3

，c=

2

，b²=a²-c²=3-2=1，故動圓圓心的軌跡方程為

x2

3

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）設P為MN的中點，聯立方程組

y=kx+m x2+3y2-3=0

，⇒（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0．△=-12m²+36k²+12＞0⇒m²＜3k²+1 …（1）…（6分）
又xM+xN=

-6mk

3k2+1

⇒xP=

-3mk

3k2+1

，yP=kxP+m=

m

3k2+1

⇒kAP=

m+3k2+1

-3km

由MN⊥AP⇒

m+3k2+1

-3km

=

1

k

⇒2m=3k2+1…（2）…（9分）

把(2)代入(1)得：2m＞m2⇒0＜m＜2 又由(2)得：k2= 2m-1 3 ＞0⇒m＞ 1 2

⇒

1

2

＜m＜2．故m∈(

1

2

，2)．…（12分）

點評：本題考查圓與圓的位置關系，橢圓的定義和標準方程，得到|MO₁|+|MO₂|＞|O₁O₂|是解題的關鍵．考查直線與橢圓的位置關系，掌握其常規方法．